题目
已知:⊙O是△ABC的外接圆,AB为⊙O的直径,弦CD交AB于E,∠BCD=∠BAC.
(1)求证:AC=AD;
(2)过点C作直线CF,交AB的延长线于点F,若∠BCF=30°,则结论“CF一定是⊙O的切线”是否正确?若正确,请证明;若不正确,请举反例.
(1)求证:AC=AD;
(2)过点C作直线CF,交AB的延长线于点F,若∠BCF=30°,则结论“CF一定是⊙O的切线”是否正确?若正确,请证明;若不正确,请举反例.
提问时间:2021-01-24
答案
证明:(1)连接AD,
∵∠BCD=∠BAC,∠CBE=∠ABC,
∴△CBE∽△ABC,
∴∠BEC=∠BCA=90°,
∴∠CBA=∠ECA,
又∵∠D=∠ABC,
∴∠D=∠ACD,
∴AC=AD.
(2)连接OC,令∠CAB=20°,
∵OA=OC,
∴∠ACO=∠CAB=20°,
∴∠COB=20°+20°=40°,
∴∠OCB=
(180°-40°)=70°,
∴∠FCO=∠FCB+∠OCB=70°+30°=100°,
故此时FC不是⊙O的切线.
同理,当∠CAB=30°时,FC不一定是⊙O的切线.
∵∠BCD=∠BAC,∠CBE=∠ABC,
∴△CBE∽△ABC,
∴∠BEC=∠BCA=90°,
∴∠CBA=∠ECA,
又∵∠D=∠ABC,
∴∠D=∠ACD,
∴AC=AD.
(2)连接OC,令∠CAB=20°,
∵OA=OC,
∴∠ACO=∠CAB=20°,
∴∠COB=20°+20°=40°,
∴∠OCB=
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∴∠FCO=∠FCB+∠OCB=70°+30°=100°,
故此时FC不是⊙O的切线.
同理,当∠CAB=30°时,FC不一定是⊙O的切线.
举一反三
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英语翻译
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