题目

在△ABC中，求证：
（1）sin²A+sin²B-sin²C=2sinAsinBcosC；
（2）sinA+sinB-sinC=4sin

A

2

提问时间：2021-01-24

答案

（1）证明：△ABC中，利用余弦定理可得cosC=

a2+b2−c2

2ab

，
即a²+b²-c²=2ab•cosC．
再利用正弦定理可得sin²A+sin²B-sin²C=2sinAsinBcosC，
∴要证的等式成立．
（2）△ABC中，∵等式右边=4sin

A

2

sin

B

2

cos

C

2

=4sin

A

2

sin

B

2

cos

π−A−B

2

 
=4sin

A

2

sin

B

2

sin

A+B

2

=4sin

A

2

sin

B

2

（sin

A

2

cos

B

2

+cos

A

2

sin

B

2

）
=2sin2

A

2

sinB+2sinAsin2

B

2

=（1-cosA）sinB+sinA（1-cosB）
=sinB+sinA-（sinBcosA+cosBsinA）=sinA+sinB-sin（A+B）
=sinA+sinB-sinC=左边，
∴要证的等式成立．