题目

已知a b＞0 a+b=1 求证 1.1/a +1/b≥4 2.(（1/a∧2)-1）（（1/b∧2）-1）≥9 3.√（2a+1
已知a b＞0 a+b=1 求证 1.1/a +1/b≥4 2.(（1/a∧2)-1）（（1/b∧2）-1）≥9 3.√（2a+1） +√（2b+1）≤2√2!

提问时间：2021-01-23

答案

(1)由题意,a,b>0,
1=a+b=(a+b)^2≥4ab (由常用不等式a^2 +b^2 ≥2ab)
(a+b)/ab ≥4,
即1/a +1/b≥4.
(2)(1/a^2 -1)(1/b^2 -1)
=(1-a^2)(1-b^2)/(ab)^2
=(2ab+b^2)(a^2+2ab)/(ab)^2 (∵1=(a+b)^2)
=(2a+b)(a+2b)/ab
=(2a^2 + 2b^2 +5ab)/ab
≥(4ab+5ab)/ab=9 (∵a^2 +b^2 ≥2ab)
∴(1/a^2 -1)(1/b^2 -1)≥9.
(3)∵√(2a+1)≥0,√(2b+1)≥0,
要求证√(2a+1)+√(2b+1)≤2√2,
可不等式两边平方,
不等式右边=8,
不等式左边=2(a+b)+2 +2√(2a+2b+4ab+1)
=4+ 2√(4ab+3) (∵a+b=1)
≤4+ 2√[(a+b)^2 +3]=8,
即√(2a+1)+√(2b+1)≤2√2,故得证.