题目
已知函数f(x)=asinxcosx-√3acos²x+√3/2a+b(a>0) ⑴写出函数的单调递减区间
⑵设x∈[0,π/2],f(x)的最小值是-2,最大值是√3,求实数a,b的值
⑵设x∈[0,π/2],f(x)的最小值是-2,最大值是√3,求实数a,b的值
提问时间:2021-01-22
答案
(1)f(x)=asinxcosx-√3acos²x+√3/2a+b
=(a/2)·sin2x-(√3a/2)cos2x-√3a/2+√3/2a+b
=asin(2x-π/3)+b
由于sinx的单调增区间是[2kπ-π/2,2kπ+π/2],单调减区间是[2kπ+π/2,2kπ+3π/2],又a>0
∴f(x)的单调增区间是[kπ-π/12,kπ+5π/12],单调减区间是[kπ+5π/12,kπ+11π/12]
(2)x∈[0,π/2],2x-π/3∈[-π/3,2π/3]
sin(-π/3)≤sin(2x-π/3)≤sin(π/2)
-√3/2≤sin(2x-π/3)≤1
-√3/2a+b≤f(x)≤a+b
∴-√3/2a+b=-2,a+b=√3
a=2,b=√3-2
=(a/2)·sin2x-(√3a/2)cos2x-√3a/2+√3/2a+b
=asin(2x-π/3)+b
由于sinx的单调增区间是[2kπ-π/2,2kπ+π/2],单调减区间是[2kπ+π/2,2kπ+3π/2],又a>0
∴f(x)的单调增区间是[kπ-π/12,kπ+5π/12],单调减区间是[kπ+5π/12,kπ+11π/12]
(2)x∈[0,π/2],2x-π/3∈[-π/3,2π/3]
sin(-π/3)≤sin(2x-π/3)≤sin(π/2)
-√3/2≤sin(2x-π/3)≤1
-√3/2a+b≤f(x)≤a+b
∴-√3/2a+b=-2,a+b=√3
a=2,b=√3-2
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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