题目

C:x^2/a^2+y^2/b^2=1的离心率为 1/2,其左焦点到点 p(2,1)的距离为根号10,
椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为1/2,其左焦点到点 p(2,1)的距离为根号10,不过原点0的直线I与C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP平方.求ABP的面积取最大时直线I的方程.

提问时间：2021-01-22

答案

椭圆的左焦点为F1(-c,0) |F1P|=√(2+c)^2+1^2=√10 c=1
e=c/a=1/2 a=2 b^2=3
椭圆方程为x^2/4+y^2/3=1
当直线斜率不存在时,线段AB不可能被OP平分
设直线y=kx+b
联立得3x^2+4(kx+b)^2=12 即（3+4k^2)x^2+8kbx+4b^2-12=0
x1+x2=-8kb/(3+4k^2) x1x2=4b^2-12/3+4k^2
y1+y2=6b/3+4k^2
线段AB被OP平分 AB的中点(-4kb/3+4k^2,3b/3+4k^2)在OP上
直线OP方程为y=1/2x
(-4kb/3+4k^2)*1/2=3b/3+4k^2 b≠0 k=-3/2 y=-3/2x+b
x1+x2=b x1x2=b^2-3/3 P到直线的距离2|4-b|/√13
|AB|=√4-b^2/3
S=1/2*2|4-b|/√13*√4-b^2/3
令b=2√3sinθ
后面不会了,抱歉!