题目

首先非常感谢您对“幂级数求和：0到正无穷x^n/(n+1)”细致讲解,但您提到0^0=1还是有疑问.
讲到第二步说“根据定义：任意实数的零次幂等于1,应该是除去0的,这样一来S（0）=1怎么得的?

提问时间：2021-01-22

答案

嗯,0^0的问题确实有些争论.不过习惯上都认为0^0 = 1,因为在很多情况下,这样定义可以使得结果得到简化.比如说大家熟悉的求导公式dx^n/dx = n x^(n-1),除非0^0 = 1,否则这个公式在n=1和x = 0时会失效.再比如x^0这个函数,只有在0^0 = 1才是连续的.
同样的,对于原题来说,我们有结论：
x在[-1,1)内且x≠0时,S(x) = ln(1-x)/x + 1.
注意得出这个结论并没有用到S(0)或者0^0的值,那么如果想要S(x)是连续的,S(0)应为
lim{x->0}S(x) = lim{x->0} ln(1-x)/x + 1 = 1.