题目

3道数列极限题目
1.对任意n∈N,有an=[1+2+2^2+...+2^(n-1)]/[1-t*2^(n-1)],其中t与n无关的实常数,若liman=3t-5,求t的值
2.已知数列{an},a4=28且满足[a(n+1)+an-1]/[a(n+1)-an+1]=n
1)求a1,a2,a3,及{an}的通项
2)设{bn}为等差数列且bn=an/(n+c),其中c为不等于零的常数,若Tn=b1+b2+...+bn,求lim(1/T1+1/T2+...+1/Tn)
3.已知无穷等比数列1,1/2,1/2^2,...1/2^(n-1),...
1)在其中取值,作为一个首相为1/2^m的无穷等比数列,求这个数列各项和的取值范围
2)在其中取值,作一个无穷等比数列,其各项和S满足4/61

提问时间：2021-01-22

答案

1）分子是等比数列,由等比数列前n项和有：S[n]=(a[1]-qa[n])/(1-q)=(1-2^n)/(1-2)=2^n-1
所以a[n]=(2^n-1)/[1-t*2^(n-1)]
取极限,并且分子分母同时除以2^n,有lim a[n] = lim (1-1/2^n) / (1/2^n - t/2) =1/(-t/2)= - 2/t
因为 lim a[n] =3t-5,解得t=1 或t =2/3
2）将[a[n+1]+a[n]-1]/[a[n+1]-a[n]+1]=n化成递推形式：
a[n+1] = (n+1)/(n-1) * (a[n] -1)
两边减去(n+1),化简得：
a[n+1] - (n+1) = (n+1)/(n-1) * (a[n] -1) - (n+1) =(n+1)/(n-1) * (a[n] - n)
那么(a[n] - n) = n/(n-2) *（a[n-1] -(n-1)）
一项一项推：a[n] - n =n/(n-2) *（a[n-1] - (n-1)） =n/(n-2) * (n-1)/(n-3) *（a[n-2] - (n-2)）=n/(n-2) *……* 5/3 *(a[4] - 4)
所以：a[n] - n = (n-1)n/12 * (a[4] -4)
a[n] = (2n-1)n
所以a[1]= 1,a[2]=6,a[3]=15
(2) 等差数列形式是【k+nd】,设b[n]=k+nd,有：
(2n-1)n/(n+c) = k +nd
即2n^2 - n=d*n^2+cdn+kn+kc
：d=2,k=0,c= -1/2
即b[n]= 2n
所以T[n]=(n+1)n
1/T[n] = 1/[n(n+1)] = 1/n - 1/(n+1)
lim(1/T1+1/T2+...+1/Tn) = lim [1/1 - 1/(n+1)] = 1
3）S[n]= （a[1] - a[1]q^n）/（1-q）
如果 |q| 3
2^m >6
m>=3
所以m=3 或 4
S= 1/4 或 1/8