题目

一道解析几何基础题
已知定点A(0,1),B(0,-1),动点P在以(2,0)为圆心,1为半径的圆上
求（2倍的AP向量加上BP向量）的模的最大,最小值
可是3√46/9-(√148/9)不得不等于3（√37/3-1）呀......
这我纠结了好久......

提问时间：2021-01-21

答案

设P(x,y),则
2向量AP+向量BP=2(x,y-1)+(x,y+1)=(3x,3y-1)
|2向量AP+向量BP|=√9x^2+(3y-1)^2=3√x^2+(y-1/3)^2
其中√x^2+(y-1/3)^2表示动点（x,y）到定点A（0,1/3）的距离
连接点A（0,1/3）与圆心O（2,0）交圆于两点,即距离最小与最大的情形
距离最小值=|AO|-R=√37/3-1
距离最大值=|AO|+R=√37/3+1
模的最小最大值分别为3（√37/3-1）和3（√37/3+1）
ps:本题也可用三角函数解
令x=2+sint y=cost
其中t的取值任意
代入得：|2向量AP+向量BP|=√9x^2+(3y-1)^2=3√x^2+(y-1/3)^2
=3√（2+sint）^2+(cost-1/3)^2
=3√46/9+4sint-2cost/3
=3√46/9+(√148/9)sin(t-α)
其中α为定制,当sin(t-α)分别取正负1时,上式达最大最小值
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