题目

求好汉帮帮忙.
已知函数f(x)=ln(ax+b)在x=1处的切线方程为y=1|2x-1|2+ln2.
1）证明：方程f（x）-x=0有且只有一个实根.
2）若s,t∈（0,正无穷）,且s(1+t)^[e^f(s-1)].

提问时间：2021-01-21

答案

说第一问：
因为,f(x)=ln(ax+b)在x=1处的切线方程为y=1|2x-1|2+ln2
对f(x)求导后,可得,f’(x)=a/(ax+b);再令x=1;可以切线方程斜率
为a/(a+b);且f(x)过点（1,lnb);
所以切线方程为：y=ax/(a+b)-a/(a+b)-lnb;
与你给出的切线方程y=1|2x-1|2+ln2（没看懂你写的）对比相等可知道a不等于1
令g（x）=f（x）-x,则g（x）=ln(ax+b)/x
令g（x）=0,则(ax+b)/x=1；
两边同时乘以x得：(a-1)x+b=0；
因为a不等于1,所以（a-1)x+b=0有且只要一个根
所以,方程f（x）-x=0有且只有一个实根