题目

若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在(a,b)可导,且f(a)=b,f(b)=a.
证明存在e属于（a,b）.使得f(e)=e
存在互异亮点n,p属于(a,b),使得f'(n)*f'(p)=1

提问时间：2021-01-21

答案

(1) 令g(x)=f(x)-x在区间（a,b）内连续
g(a)=b-a>0
g(b)=a-b<0
所以必然存在一点e使得g(e)=0
即f(e)=e
(2)根据拉格朗日中值定理
至少存在f'(n)=(f(a)-f(e))/(a-e)=(b-e)/(a-e)
f'(p)=(f(b)-f(e))/(b-e)=(a-e)/(b-e)
即f'(n)*f'(p)=1