题目

在光滑的水平桌面上放有三个半径相同的小球,它们的重心处在一直线上,中间的一个小球的质量为m1,旁边的两个小球的质量均为m2,中间的一个小球具有某一动量,其方向在球心的连线上,若要使中间的小球能发生三次弹性碰撞,则中间小球的质量m1和旁边的小球的质量m2的比值m2／m1应满足什么关系?

提问时间：2021-01-20

答案

中间小球的质量m1和旁边的小球的质量m2的比值m1／m2应满足0.246到0.2之间.
设两侧的小球为A、B,中间小球为C,设中间小球C初动量为P,与A碰撞时给A的冲量为I1,则碰后C的动量为P-I1,因是弹性碰撞,故前后动能和相等,即P^2/2m1=(P-I1)^2/2m1+I1^2/2m2,式中^2代表平方,/代表相除,解得I1=2m2/(m1+m2)P；碰完后再与B球相碰,给B的冲量为I2,则由能量守恒得,（P-I1）^2/2m1=(P-I1-I2)^2/2m1+I2^2/2m2,解得I2=2m2(m1-m2)P/(m1+m2)^2；为了能发生三次碰撞,C与B碰后的速度至少应与A的速度相等,即（P-I1-I2）/m1=I1/m2,将I1、I2的值代入,解得m1/m2=根5-2=0.246;
若C再次追上A时给A的冲量为I1',则由能量守恒有（P-I1-I2）^2/2m1=(P-I1-I2-I1')^2/2m1+(I1+I1')^2/2m2,同时,为了只发生三次碰撞,要求C与A再次碰后的速度恰与B的速度相等,即（P-I1-I2-I1'）/m1=I2/m2,联立这两个方程和I1与I2的值可解得m1/m2=0.2.这个值得解法相对麻烦一些,我用的是数值法解得5次方程,不知道有没有更好的方法,你以后若能知道更好的方法请高手我一下.