题目

已知函数f（x）=kx+b（k≠0），f（4）=10，又f（1），f（2），f（6）成等比数列．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设a_n=2^f（n）+2n，求数列{a_n}的前n项和S_n．

提问时间：2021-01-20

答案

（I）由题意，知：f²（2）=f（1）•f（6），
即（2k+b）²=（k+b）（6k+b）…（2分）
即  2k²=-3kb…（3分）
∵k≠0，∴2k+3b=0…（4分）
又f（4）=10，所以  4k+b=10
所以，k=3，b=-2…（6分）
∴函数f（x）的解析式为f（x）=3x-2…（7分）
（II）由（1）知：a_n=2^3n-2+2n．
所以，数列{a_n}的前n项和S_n=a₁+a₂+…+a_n=（2+2⁴+2⁷+…+2^3n-2）+2（1+2+…+n）
=

2(1−8n)

1−8

+2•

(1+n)n

2

=

2

7

(8n−1)+n(n+1)…（14分）