题目

∫∫(x^2+y^2+z^2)dS,积分曲面为x^2+y^2+z^2=a^2(x≥0 y≥0)与平面x=0,y=0所围成的封闭曲面

提问时间：2021-01-20

答案

如图：


整个封闭曲面可分为四部分：
Σ = Σ1 + Σ2 + Σ3 + Σ4
∫∫Σ1 (x² + y² + z²) dS,曲面为z = 0
= ∫∫Σ1 (x² + y²) dS
= ∫∫D (x² + y²) dxdy
= ∫(0→π/2) ∫(0→a) r³ drdθ
= (1/8)πa⁴
∫∫Σ2 (x² + y² + z²) dS,曲面为x = 0
= ∫∫Σ2 (y² + z²) dS
= ∫∫D (y² + z²) dydz
= ∫(0→π/2) ∫(0→a) r³ drdθ
= (1/8)πa⁴
∫∫Σ3 (x² + y² + z²) dS,曲面为y = 0
= ∫∫Σ3 (x² + z²) dS
= ∫∫D (x² + z²) dzdx
= ∫(0→π/2) ∫(0→a) r³ drdθ
= (1/8)πa⁴
∫∫Σ4 (x² + y² + z²) dS,曲面为z = √(a² - x² - y²)
= ∫∫Σ4 a² dS
= a² * (1/8)(4πa²)
= (1/2)πa⁴


∴∫∫Σ (x² + y² + z²) dS
= 3 * (1/8)πa⁴ + (1/2)πa⁴
= (7/8)πa⁴