题目

在三角形ABC中,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,BF与CD交于O点,设AB（向量）=a（向量）,AC（向量）=b（向量）
1.求证A、O、E三点共线,且AO/OE=BO/OF=CO/OD=2
2.用向量a、b来表示向量AO

提问时间：2021-01-19

答案

1、向量BF=向量BA+向量AD=-向量a+(1/2)向量b.同理可得,向量CD=向量CA+向量AD=-向量b+(1/2)向量a.设向量BO=x向量BF=-x向量a+(x/2)向量b,向量DO=y向量DC=-y向量CD=y向量b-(y/2)向量a.
又向量BO=向量BD+向量DO,即-x向量a+(x/2)向量b=-(1/2)向量a+y向量b-(y/2)向量a=-(y+1)/2向量a+y向量b.由此可得,-x=-(y+1)/2且x/2=y,解得x=2/3,y=1/3.并且可得BO/OF=CO/OD=2.
又向量AE=(1/2)(向量a+向量b),向量AO=(1/20向量a+向量DO=(1/2)向量a+(1/3)向量b-(1/6)向量a=(1/3)(向量a+向量b)=(2/3)[(1/2)(向量a+向量b)]=(2/3)向量AE,即向量AO‖向量AE,从而A、O、E三点共线,且AO/OE=BO/OF=CO/OD=2.
2、向量AO=(2/3)向量AE=(2/3)[(1/2)(向量a+向量b)]=(1/3)向量a+(1/3)向量b.