题目

平面上有n个圆,其中每两个圆都相交于两点,并且每三个圆都不相交于同一点,则这n个圆将平面分成___部分.

提问时间：2021-01-19

答案

第n个圆将平面分成f(n)部分
第n-1个圆将平面分成f(n-1)部分
则第n个圆与前n-1个圆有2(n-1)个交点,将圆分成2(n-1)段弧,
每一段弧将其所在区域一分为二
所以 f(n)=f(n-1)+2(n-1)
f(1)=2
f(2)-f(1)=2
f(3)-f(2)=4
.
f(n)-f(n-1)=2(n-1)
叠加
f(n)=2+2+4+.+2(n-1)
=2+[2+2(n-1)]*(n-1)/2
=2+n(n-1)
=n²-n+2
这n个圆将平面分成__n²-n+2 _部分.