题目

已知定圆F1:x²+Y²+10x+24=0,定圆F2:x²+y²-10x+9=0 动圆M与定圆F1、F2都内切.求动圆圆心M的轨迹方程

提问时间：2021-01-18

答案

设M的坐标是（x,y）.
改写两圆方程,得：F1：（x＋5）^2＋y^2＝1、　F2：（x－5）^2＋y^2＝16.
∴F1的坐标是（－5,0）、F2的坐标是（5,0）,⊙F1的半径r＝1、⊙F2的半径R=4.
∵F1F2＝10、R＋r＝5,∴⊙F1、⊙F2相离,∴依题意,有：MF1＋r＝MF2＋R,
∴MF1－MF2＝R－r＝4－1＝3.
显然,F1在F2的左侧.
由双曲线定义,得：M的轨迹是以F1、F2为焦点,3为实半轴长的双曲线右支.
∴2c＝F1F2＝10,∴c＝5,又a＝3,∴b^2＝c^2－a^2＝25－9＝16.
∴M的轨迹方程是：x^2/9－y^2/16＝1.
令x^2/9－y^2/16＝1中的y＝0,得：x^2＝9,∴x＝－3,或x＝3.
∵M的轨迹是x^2/9－y^2/16＝1的右支,∵x≧3.
于是：满足条件的M的轨迹是：x^2/9－y^2/16＝1,其中x∈［3,＋∞）.