题目

1、f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-f(x)=2x+9求f(x)
2、已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=0,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析式
3、已知f(x+1)=x²+4x+1,求f(x)的解析式

提问时间：2021-01-18

答案

1、f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-f(x)=2x+9求f(x)
∵f(x)是一次函数,∴可设f(x)=kx+b,那么依已知条件有等式：
3f(x+1)-f(x)=3[k(x+1)+b]-(kx+b)=3kx+3k+3b-kx-b=2kx+3k+2b=2x+9,
于是有2k=2,得k=1；3k+2b=3+2b=9,故b=3.
∴f(x)=x+3.
2、已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=0,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析式
∵f(x)是二次函数,∴可设f(x)=ax²+bx+c,于是依条件有等式：
f(0)=c=0,即有c=0；
f(x+1)-f(x)=a(x+1)²+b(x+1)-ax²-bx=2ax+a+b=2x,故2a=2,即a=1；a+b=1+b=0,故b=-1.
于是得解析式为：f(x)=x²-x.
3、已知f(x+1)=x²+4x+1,求f(x)的解析式
解一：f(x+1)=x²+4x+1=(x+1)²+2(x+1)-2； [经过恒等边形,使原表达式中的自变量x变为(x+1)]
把上式中的x+1换成x,即得解析式为 f(x)=x²+2x-2.
解二：设x+1=u,则x=u-1,代入原式得f(u)=(u-1)²+4(u-1)+1=u²+2u-2
再把u换成x,即得解析式为：f(x)=x²+2x-2.