题目

在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F，若G是EF的中点，则∠BDG的正切值为______．

提问时间：2021-01-18

答案

连接CG，BG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠DCB=∠ABE=90°，AB=DC，AD∥BC，
∵AE平分∠DAB，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴∠AEB=45°=∠BAE，
∵AB∥DC，
∴∠F=∠BAE=45°，
∴∠F=∠CEF，
∴CE=CF，
∵BE=DC，
∴DF=BC，
∵∠ECF=90°，CE=CF，G为EF中点，
∴∠ECG=45°，CG=GE=GF，
∴∠ECG=∠F，
在△DGF和△BGC中

DF＝BC ∠F＝∠BCG GF＝CG

∴△DGF≌△BGC（SAS），
∴BG=DG，∠DGF=∠BGC，
则∠BGC-∠DGC=∠DGF-∠DGC，即∠BGD=∠CGF=90°，
∴△BGD为等腰直角三角形，
∴∠BDG=45°
∴∠BDG的正切值为tan45°=1，
故答案为：1．

根据矩形性质得出∠BAD=∠DCB=∠ABE=90°，AB=DC，AD∥BC，求出DC=BE=AB，求出DF=BC，∠F=45°，求出CG=GF，证△DGF≌△BGC，推出△BGD为等腰直角三角形，即可求出答案．

本题考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；特殊角的三角函数值．

考点点评：本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，综合性比较强，难度偏大．