题目

已知命题p：方程

x2

3−t

+

y2

t+1

＝1所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆；命题q：实数a满足不等式t²-（a-1）t-a＜0．
（1）若命题p为真，求实数t的取值范围；
（2）若命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

提问时间：2021-01-17

答案

解（1）∵方程

x2

3−t

+

y2

t+1

＝1所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆
∴

3−t＞0 t+1＞0 3−t＞t+1

，解之得：-1＜t＜1…（6分）
（2）∵命题q：实数满足不等式t²-（a-1）t-a＜0，即（t+1）（t-a）＜0．
∴命题q为真命题，当a＞-1时，得到t∈（-1，a）；当a＜-1时，命题q为真命题得到t∈（a，-1）
∵命题P是命题q的充分不必要条件
∴集合{t|-1＜t＜1}是不等式t²-（a-1）t-a＜0解集的真子集…（9分）
由此可得a＞-1且（-1，1）

⊂

≠

（-1，a）
解之得：a＞1…（12分）

（1）根据焦点在x轴上椭圆的标准方程形式，得3-t＞t+1＞0，解此不等式组即可得到实数t的取值范围．
（2）命题p是命题q的充分不必要条件，说明（1）中t的范围对应集合是不等式t²-（a-1）t-a＜0的解集的子集，由此建立不等关系，可解出实数a的取值范围．

本题考点：椭圆的标准方程；命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断．

考点点评：本题给出椭圆的焦点在x轴上，求参数t的取值范围并探求一个充分不必要条件，着重考查了椭圆的标准方程和充分必要条件的判断等知识，属于基础题．