题目
已知F1,F2是椭圆C:
+
=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上的一点,且
⊥
,若△PF1F2的面积为9,则b的值为( )
A. 3
B. 2
C. 4
D. 9
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
PF1 |
PF2 |
A. 3
B. 2
3 |
C. 4
D. 9
提问时间:2021-01-17
答案
∵|PF1| +|PF2| =2a,
∴|PF1|2+|PF2|2+2|PF1| •|PF2| =4a2;①
又
⊥
,
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,②
∴①-②得:2|PF1| •|PF2| =4(a2-c2)=4b2,
∴
|PF1| •|PF2| =b2,
∵△PF1F2的面积为9,
∴S△PF1F2=
|PF1| •|PF2| =b2=9,b>0,
∴b=3.
故选A.
∴|PF1|2+|PF2|2+2|PF1| •|PF2| =4a2;①
又
PF1 |
PF2 |
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,②
∴①-②得:2|PF1| •|PF2| =4(a2-c2)=4b2,
∴
1 |
2 |
∵△PF1F2的面积为9,
∴S△PF1F2=
1 |
2 |
∴b=3.
故选A.
由椭圆的定义知|PF1| +|PF2| =2a①,依题意,|PF1|2+|PF2|2=4c2,②对①式两端平方后与②联立可得|PF1| •|PF2| ,再由△PF1F2的面积为9,即可求得b的值.
椭圆的简单性质;数量积判断两个平面向量的垂直关系.
本题考查椭圆的简单性质,考查数量积判断两个平面向量的垂直关系,考查化归思想与运算能力,属于中档题.
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