题目

19、已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c (a, b, c∈R)
已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c (a, b, c∈R)满足f(1)=1, f(–1)=0,且对任意x∈R,都有f(x)≥x恒成立
（1）证明a>0 c>0；
（2）设g(x)=f(x) –mx(m∈R),
求m取值范围,使函数g(x)在区间[–1, 1]上是单调函数.

提问时间：2021-01-17

答案

f(x)≥x即ax^2+(b-1)x+c≥0,要使它恒成立,必须：
（1）a>0（开口向上）
（2）(b-1)^2 - 4ac ≤ 0（与x轴最多只有1个交点）
第二个式子可放松成ac≥0,由（1）可知,c≥0.
假如c=0,那么f(1)=1和f(-1)=0的条件就变成a+b=1和a-b=0,所以a=b=1/2.
经检验,f(x)=(x^2+x)/2,这时f(x)-x的△不满足条件（2）,所以c≠0.
综上a>0并且c>0.
g(x) = ax^2 + (b-m)x + c.
要使g(x)在[-1,1]上单调,只需要g(x)的对称轴不出现在(-1,1)中.
g(x)的对称轴为x=(m-b)/(2a).
所以,(m-b)/(2a)≥1或者(m-b)/(2a)≤-1.
即m≥b+2a或者m≤b-2a.