题目

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，M，N分别为A₁B，B₁C₁的中点．

（1）求证BC∥平面MNB₁．
（2）当AC=AA₁时，求证：平面MNB₁⊥平面A₁CB．

提问时间：2021-01-17

答案

证明：∵BC∥B₁C₁，且B₁C₁⊂平面MNB₁，BC⊄平面MNB₁，
∴BC∥平面MNB₁；
（2）连接AC₁，由AC=AA₁，得四边形ACC₁A₁是正方形
∴AC₁⊥A₁C，
直三棱柱中CC₁⊥平面ABC，
∴CC₁⊥BC，
又BC⊥AC
∴BC⊥平面ACC₁A₁，
∴BC⊥AC₁．
∵A₁C∩BC=C
∴AC₁⊥平面A₁BC
连接AB₁，则A₁B与AB₁的交点即为AB₁的中点M，
又∵N是B₁C₁的中点，
∴MN∥AC₁，
∴MN⊥平面A₁BC且MN⊂B₁MN
∴平面MNB₁⊥平面A₁CB．