题目

怎样用极坐标证明过抛物线焦点的弦被抛物线分成的两部分的倒数和为常数

提问时间：2021-01-17

答案

下面解答思想用的是极坐标,但不建系：
设过焦点弦与抛物线交于两点,记为A,B
设A到焦点距离为ρ1,B到焦点距离为ρ2,直线AB倾斜角为θ
设抛物线一般方程为y^2=2px,(p为常数）
据抛物线性质--抛物线上任意一点到焦点的距离与到准线的距离一样,得
对A:ρ1=p+ρ1*cosθ → ρ1=p/(1-cosθ) → 1/ρ1=(1-cosθ) /p
对B:ρ2=p+ρ2*cos(θ +π） → ρ2=p/(1+cosθ) → 1/ρ1=(1+cosθ) /p
所以1/ρ1 +1/ρ2=(1+cosθ) /p+(1-cosθ) /p=2/p