题目

已知sin^2(2A)+sin2ACOSA-COS2A=1,A∈（0,π/2),f=sin^2+sincos
1求A的值
2求函数f的单调递减区间

提问时间：2021-01-17

答案

（1）
sin^2 2a=（2sinacosa）^2=4(sina)^2*(cosa)^2
sin2acosa=2sina(cosa)^2
cos2a=2(cosa)^2-1
sin^2 2a+sin2acosa-cos2a
=4(sina)^2*(cosa)^2+2sina(cosa)^2-[2(cosa)^2-1]
=1
所以4(sina)^2*(cosa)^2+2sina(cosa)^2-2(cosa)^2=0
而a∈(0,π /2),cosa≠0,
所以4(sina)^2+2sina-2=0,
解得sina=1/2或者-1（舍去）
因为a∈(0,π /2)
所以a=π/6
（2）f(x)=sin^2+sincos
=[1-cos(2x+π/3)]/2+sin(2x+π/3)/2
=1/2*√2sin(2x+π/3-π/4)+1/2
=√2/2sin(2x+π/12）+1/2
π/2+2kπ≤2x+π/12≤3π/2+2kπ
5π/24+kπ≤x≤17π/24+kπ
所以单调递减区间[5π/24+kπ,17π/24+kπ](k∈Z)