题目

3道数学分析证明题!（实分析,数列,极限）
当n趋近无穷时,数列Sn/n=非零常数C,求证：数列Sn发散向无穷
实数方程f 在R上一致连续,若定义fn(x)=f(x+1/n),求证：数列fn一直连续并趋向f.
求证：不存在连续方程g:R->R 使得g(x)=c有恰好两个解(c为任一实数）
第二题应为：求证：数列fn一致连续并趋向f

提问时间：2021-01-17

答案

1、不妨设C>0,因为limS[n]/n=C,所以存在N,当n>=N'时|S[n]/n-C|Cn/2
任意给定正数M,只要取N=max{N',2M/C},当n>=N时,S[n]>Cn/2>=M,所以S[n]发散到无穷
2、任意给定正数a,存在正数b,当|x-x'|所以对任意a,当|x-x'|=|(x+1/n)-(x'+1/n)|因为f(x)连续,对任意a,取一个N>1/b,当n>=N时,|(x+1/n)-x|3、假设存在.
g(x)=0有2个解,设为a,b(a如果0既是最大值又是最小值,则矛盾.
如果0既不是最大值又不是最小值,则x1,x2∈(a,b),在x1,x2之间还有一个x3使得g(x3)=0,矛盾.
所以0抑或是最大值,抑或是最小值,不妨设是最小值.因为g(x)=M恰有2个解x1,x4,所以[a,b]中要么有1个解,要么有2个解.
如果有1个解,则x4在[a,b]之外,不妨设x4>b,任取M'∈(0,M),则g(x)=M'在(a,x1),(x1,b),(b,x4)都有解,矛盾.
如果有2个解,不妨设x1所以不存在.