题目

下列情况可以使用最小二乘法解决么?
已知L是一个n*n大小的矩阵,A是n*d大小的矩阵.想求矩阵W(其大小为d*d),其满足的条件是用A*w*A'去近似L.在这里,可以用最小二乘法么?那W推导的过程是什么样的?

提问时间：2021-01-16

答案

貌似是可以的.
目的是求出A*w*A'=L的最佳近似解.
我的方法是：
（1）求出A的广义逆矩阵,记为A~.则A~是一个d*n的矩阵
（2）求出A'的广义逆矩阵,记为A'~.则A'~是一个n*d的矩阵
（3）将经典的最小二乘法推广：w=A~* L * A'~
×××××××××××××××××××
我水平有限,对4个M-P方程推导了半天也没能给出证明.
但我用MATLAB举例子试过了,这种做法是可以的.
我取的
A=
1 2
2 4
3 6
L=
1 2 3
4 5 6
7 8 9
解出来
w=
0.0465 0.0931
0.0931 0.1861
将w代回原方程求出此时的L为
1.1633 2.3265 3.4898
2.3265 4.6531 6.9796
3.4898 6.9796 10.4694
与原始的L相比,均方误差为19.7755
当我对w加细微扰动,令其等于
0.0400 0.0931
0.0931 0.1861
代入后此时的L为
1.1568 2.3136 3.4704
2.3136 4.6272 6.9408
3.4704 6.9408 10.4112
再与原始的L相比,均方误差为19.7837
加扰后均方误差变大了,从实践上来说,某种程度上说明该方法是可行的.