题目

如图,在平行四边形ABCD外有一点E,若AE⊥EC,BE⊥ED.求证:平行四边形ABCD是矩形

提问时间：2021-01-16

答案

证明：
平行四边形ABCD,可得：对角线平分,不妨假设AC与BD的交点为O,则AO=OC；BO=OD.
AE⊥EC,BE⊥ED,则：E为以AC直径的圆上一点,同理,也是以BD为直径的圆上的一点.
根据AO=OC,则O为前述构成圆的圆心,两个圆都是.而E为圆上的点,所以,O也是直径的中心,即：AO=OC=OE；同理,BO=OD=OE.
二者联立得：AO=OC=OE=BO=OD,亦即AC=BD.
再根据四边形ABCD是平行四边形,此时,根据“对角线相等的平行四边形是矩形（根据三角形全等,则其中一角是直角,从而得此判据）”,得平行四边形ABCD是矩形.
证毕.