题目

设a为实数,函数f（x)=x^2+|x-a|+1.x属于R.
1>若f(x)是偶函数,试求a的值
2>求证：无论a取任何实数函数f(x)都不可能是奇函数.

提问时间：2021-01-16

答案

1、
若f(x)是偶函数,则有：f(-x)=f(x)
f(x)=x^2+|x-a|+1.(1)
f(-x)=x^2+|-x-a|+1.(2)
令(1)式=(2)式,得
|x-a|=|x+a|所以,a=0
2、
假设存在一个实数a,使得函数f(x)为奇函数,则有：
f(-x)=-f(x)
f(-x)=x^2+|-x-a|+1.(3)
-f(x)=-(x^2+|x-a|+1).(4)
令(1)式=(2)式,得
x^2+|-x-a|+1=-(x^2+|x-a|+1),整理得：
2x^2+|x+a|+|x-a|+2=0.(5)
因为：x属于R,
所以2x^2>=0,|x+a|>=0,|x-a|>=0,也即：
2x^2+|x+a|+|x-a|>=0,显然（5)式不成立
故：无论a取任何实数函数f(x)都不可能是奇函数