题目

已知数列an满足a1=1 a(n+1)=1+an+根号(1+4an) 求an通项公式

提问时间：2021-01-16

答案

a(n+1)-an=1+an+√(1+4an)-an=1+√(1+4an)恒>0
a(n+1)>an,数列为递增数列.
又a1=1>0,数列各项均为正.
a(n+1)=1+an+√(1+4an)
=(1/4 +an)+√(1+4an) +3/4
=(1+4an)/4 +√(1+4an) +3/4
=[1+√(1+4an)/2]² -1/4
[1+4a(n+1)]/4=[1+√(1+4an)/2]²
√[1+4a(n+1)]/2=√(1+4an)/2 +1
√[1+4a(n+1)]-√(1+4an)=2,为定值.
√(1+4a1)=√(1+4)=√5
数列{√(1+4an)}是以√5为首项,2为公差的等差数列.
√(1+4an)=√5+2(n-1)
1+4an=[√5+2(n-1)]²=4(n-1)²+4√5(n-1)+5
an=[4(n-1)²+4√5(n-1)+5-1]/4=(n-1)²+√5(n-1)+1=n²-(2-√5)n+(2-√5)
数列{an}的通项公式为an=n²-(2-√5)n+(2-√5).