题目

如图，已知△ABC中，∠BAC=90゜，AB=AC，点P为BC边上一动点（BP＜CP），分别过B、C作BE⊥AP于E，CF⊥AP于F．

（1）求证：EF=CF-BE．
（2）若点P为BC延长线上一点，其它条件不变，则线段BE、CF、EF是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论．

提问时间：2021-01-15

答案

（1）证明：∵BE⊥AP，CF⊥AP，
∴∠AEB=∠AFC=90°．
∴∠FAC+∠ACF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAE+∠FAC=90°，
∴∠BAE=∠ACF．
在△ABE和△CAF中，

∠AEB＝∠AFC ∠BAE＝∠ACF AB＝AC

，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴AE=CF，BE=AF．
∵EF=AE-AF，
∴EF=CF-BE；
（2）EF=BE+CF
理由：∵BE⊥AP，CF⊥AP，
∴∠AEB=∠AFC=90°．
∴∠FAC+∠ACF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAE+∠FAC=90°，
∴∠BAE=∠ACF．
在△ABE和△CAF中，

∠AEB＝∠AFC ∠BAE＝∠ACF AB＝AC

，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴AE=CF，BE=AF．
∵EF=AE+AF，
∴EF=BE+CF．

（1）由BE⊥AP，CF⊥AP可以得出∠AEB=∠AFC=90°，根据∠BAC=90°就可以求出∠BAE=∠ACF，就可以得出△ABE≌△CAF，而得出AE=CF，BE=AF得出结论；
（2）如图2，同样由BE⊥AP，CF⊥AP可以得出∠AEB=∠AFC=90°，根据∠BAC=90°就可以求出∠BAE=∠ACF，就可以得出△ABE≌△CAF，而得出AE=CF，BE=AF得出结论EF=BE+CF．

本题考点：全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，直角三角形的性质的运用．解答时证明三角形全等是解答本题的关键．