题目

已知向量组a₁，a₂，…，a_r线性无关，证明向量组  b₁=a₁，b₂=a₁+a₂，…，b_r=a₁+a₂+…+a_r也线性无关．

提问时间：2021-01-15

答案

假设存在一组实数k₁，…，k_r，使得k₁b₁+…+k_rb_r=0，
即  k₁a₁+k₂（a₁+a₂）+…+k_r（a₁+…+a_r）=（k₁+…+k_r）a₁+（k₂+…+k_r）a₂+…+k_ra_r=0．
因为向量组a₁，a₂，…，a_r线性无关，所以

k1+…+kr＝0 … kr−1+kr＝0 kr＝0

．
因为方程组的系数矩阵

.

1 1 … 1 0 1 … 1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 1

.

=1≠0，
所以由齐次线性方程组存在非零解的充要条件可得，
k₁=k₂=…=k_r=0．
故向量组b₁，b₂，…，b_r线性无关．

只需证明如下结论：如果存在一组实数k₁，…，k_r，使得k₁b₁+…+k_rb_r=0，则k₁=…=k_r=0．

本题考点：向量组线性无关的判定与证明．

考点点评：本题考查了判断向量组是否线性无关的方法，其中利用了行列式的计算以及齐次线性方程组存在非零解的充要条件，难度系数适中．该类题目是常考题型，需要熟练掌握．