题目

已知函数f（x）=x²-4-k|x-2|．
（1）若函数y=f（x）为偶函数，求k的值；
（2）求函数y=f（x）在区间[0，4]上的最大值；
（3）若函数y=f（x）有且仅有一个零点，求实数k的取值范围．

提问时间：2021-01-15

答案

（1）因为y=f（x）为偶函数，所以f（-1）=f（1），解得k=0，
经检验k=0符合题意． …（2分）
（2）当x∈[0，4]时，f（x）=

x2+kx−2k−4，0≤x≤2 x2−kx+2k−4，2＜x≤4

，
因为y=f（x）在区间[0，4]上图象由两段抛物线段组成，且这两个抛物线开口均向上，
所以其最大值只可能是f（0）、f（2）、f（4）其中之一． …（4分）
又f（0）=-2k-4，f（2）=0，f（4）=12-2k，显然f（4）＞f（0）．
所以当k＜6时，所求最大值为f（4）=12-2k；
当k≥6时，所求最大值为f（2）=0．…（6分）
（3）由题意得，方程x²-4-k|x-2|=0有且仅有一个解，显然，x=2已是该方程的解．…（8分）
当x≥2时，方程变为（x-2）（ x+2-k）=0；
当x＜2时，方程变为（x-2）（ x+2+k）=0．
从而关于x的方程x+2-k=0（x≥2）有且仅有一个等于2的解或无解，且x+2+k=0（x＜2）无解．
又x=2时，k=4，此时x=-6也是方程的解，不合题意．
所以关于x的方程x+2-k=0（x≥2）无解，且x+2+k=0（x＜2）无解．
所以，k＜4且k≤-4．
综上，k≤-4，即实数k的取值范围为（-∞，-4]．…（10分）

（1）因为y=f（x）为偶函数，所以f（-1）=f（1），由此解得k的值．
（2）当x∈[0，4]时，f（x）=

x2+kx−2k−4，0≤x≤2 x2−kx+2k−4，2＜x≤4

，所以其最大值只可能是f（0）、f（2）、f（4）其中之一．再由f（4）＞f（0），可得函数的最大值．
（3）由题意得，方程x²-4-k|x-2|=0有且仅有一个解，显然，x=2已是该方程的解．故关于x的方程x+2-k=0（x≥2）有且仅有一个等于2的解或无解，且x+2+k=0（x＜2）无解，从而求得实数k的取值范围．

本题考点：二次函数在闭区间上的最值；函数奇偶性的判断；函数的零点．

考点点评：本题主要考查二次函数的性质应用，函数的零点的定义，函数的奇偶性，体现了分类讨论和等价转化的数学思想，属于中档题．