题目
A^2+2A-3I=0问m满足什么条件时(A+mI)是可逆矩阵
过程详细 谢谢了
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提问时间:2021-01-14
答案
m=1+√3,或m=1-√3.
如果(A+mI)是可逆矩阵,不妨设逆矩阵为A+xI(因为矩阵A的最小多项式是2次的,其逆矩阵可表示为A的1次多项式),则
(A+mI)(A+xI)=I
A^2+(m+x)A+(mx-1)I=0
与A^2+2A-3I=0系数比较得
m+x=2,mx-1=-3,mx=-2
m,x是2次方程t^2-2t-2=0的两根,解此方程得t=1+√3,t=1-√3
即m=1+√3,或m=1-√3,当m=1+√3时,(A+mI)的逆矩阵为A+(1-√3)I
当m=1-√3时,(A+mI)的逆矩阵为A+(1+√3)I.
如果(A+mI)是可逆矩阵,不妨设逆矩阵为A+xI(因为矩阵A的最小多项式是2次的,其逆矩阵可表示为A的1次多项式),则
(A+mI)(A+xI)=I
A^2+(m+x)A+(mx-1)I=0
与A^2+2A-3I=0系数比较得
m+x=2,mx-1=-3,mx=-2
m,x是2次方程t^2-2t-2=0的两根,解此方程得t=1+√3,t=1-√3
即m=1+√3,或m=1-√3,当m=1+√3时,(A+mI)的逆矩阵为A+(1-√3)I
当m=1-√3时,(A+mI)的逆矩阵为A+(1+√3)I.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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