题目

已知椭圆中心在坐标原点,焦点在X轴上,它的一个焦点为F,M是椭圆上的任意点,|MF|的最大值和最小值的几何平均数为2,椭圆上存在着以Y=X为轴的对称点M1和M2,且|M1M2|=4倍根号10/3,试求椭圆方程

提问时间：2021-01-14

答案

设椭圆方程是x^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>0)
|MF|的最大值是a+c,最小值是a-c,几何平均数为根号[(a+c)(a-c)]=b,那么b=2
椭圆上存在关于y=x对称的点,设M1(m,n),那么M2(n,m)
所以,m^2/a^2+n^2/b^2=1
n^2/a^2+m^2/b^2=1,所以m^2(1/a^2-1/b^2)=n^2(1/a^2-1/b^2)
a>b>0,所以1/a^2-1/b^2不等于0,所以m^2=n^2,因为M1和M2是不同的两点,所以m不等于n,所以m=-n
所以|M1M2|=根号[(m-n)^2+(n-m)^2]=2根号2|m|=4根号10/3
|m|=2根号5/3,所以m^2=n^2=20/9带回椭圆方程得m^2/a^2+n^2/b^2=1
a^2=5,所以椭圆方程是x^2/5+y^2/4=1