题目

谁能帮我解道解析几何题
椭圆的焦距是长轴长的二分之根号二倍,左右焦点为F1,F2,点P（2,根号3）,点F2在PF1中垂线上
1求椭圆方程
2设直线y＝kx＋m与椭圆交于M,N两点,直线FIM于F2M的倾斜角互补,求证：直线l过定点,并求该点坐标

提问时间：2021-01-14

答案

椭圆的焦距是长轴长的二分之根号二倍,左右焦点为F1,F2,点P（2,根号3）,点F2在PF1中垂线上
1求椭圆方程
2设直线y＝kx＋m与椭圆交于M,N两点,直线FIM于F2M的倾斜角互补,求证：直线l过定点,并求该点坐标
(1)解析：∵椭圆焦距是长轴长的√2/2倍,∴a=√2c
椭圆焦点F1(-c,0),F2(c,0)
又点P(2,√3),点F2在F1P的中垂线上
F1P中点坐标为((2-c)/2,√3/2),F1P斜率为k=√3/(2+c)==> F1P中垂线斜率为-(2+c)/ √3
∴F1P中垂线方程为y=-(2+c)/√3(x-(2-c)/2)+√3/2
∴-(2+c)/√3(c-(2-c)/2)+√3/2=0==>c=1==>a=√2
∴椭圆方程为x^2/2+y^2=1
(2)证明：设直线y＝kx＋m与椭圆交于M,N两点
∵直线FIM于F2M的倾斜角互补,又∠MF2F1与F2M的倾斜角互补
∴∠MF1F2=∠MF2F1
∴MF1=MF2
∴M与椭圆上或下顶点重合