题目
数学必修五数列
有谁能归纳一下等比等差数列求和方法(带例题)
有谁能归纳一下等比等差数列求和方法(带例题)
提问时间:2021-01-14
答案
新高考数列选题
1.(2000天津)(15)设 是首项为1的正项数列,且 ( =1,2,3,…),则它的通项公式是 =_______.
2.(2003天津文)5.等差数列 (D )A.48 B.49 C.50 D.51
3.(2001天津)若Sn是数列{an}的前n项和,且 则 是 (B )
(A)等比数列,但不是等差数列 (B)等差数列,但不是等比数列
(C)等差数列,而且也是等比数列 (D)既非等比数列又非等差数列
4.(2000天津理)(21)(本小题满分12分)
(I)已知数列 ,其中 ,且数列 为等比数列,求常数 .
(II)设 、 是公比不相等的两个等比数列,,证明数列 不是等比数列.
5.(2000天津文)(19)(本小题满分12分)
设 为等差数列,为数列 的前 项和,已知 ,,为数列 的前 项和,求 .
6.(2002天津理)21、(本题满分12分)已知两点 ,且点 使 ,,
成公差小于零的等差数列.
(1)点P的轨迹是什么曲线?
(2)若点P坐标为 ,记 为 与 的夹角,求 .
7.(2002天津理)22、(本题满分14分)已知 是由非负整数组成的数列,满足 ,,.
(1)求 ;
(2)证明 ;
(3)求 的通项公式及其前 项和 .
8.(2003江苏理)(22)(本小题满分14分)
设 ,如图,已知直线 及曲线 上的点 的横坐标为 作直线平行于 轴,交直线 作直线平行于 轴,交曲线 的横坐标构成数列
(Ⅰ)试求 的关系,并求 的通项公式;
(Ⅱ)当 时,证明
(Ⅲ)当 时,证明
9.(2003天津理)(22)(本小题满分14分)
设 为常数,且 .
(Ⅰ)证明对任意 ≥1,;
(Ⅱ)假设对任意 ≥1有 ,求 的取值范围.
10.(2003天津文)19.(本题满分12分)
已知数列
(Ⅰ)求
(Ⅱ)证明
参考答案
1.; 2.c ; 3.B; 5.设等差数列 的公差为 ,则
∵ ,,∴ 即
解得 ,.∴ ,∵ ,∴ 数列 是等差数列,其首项为 ,公差为 ,∴ .
10.(Ⅰ)∵a1=1 .∴a2=3+1=4,a3=32+4=13 .
(Ⅱ)证明:由已知an-an-1=3n-1,故
所以证得 .
9.(1)证法一:(i)当n=1时,由已知a1=1-2a0,等式成立;
(ii)假设当n=k(k≥1)等式成立,则
那么
也就是说,当n=k+1时,等式也成立.根据(i)和(ii),可知等式对任何n∈N,成立.
证法二:如果设 用 代入,可解出 .
所以 是公比为-2,首项为 的等比数列.
即
(2)解法一:由 通项公式
等价于 ……①
(i)当n=2k-1,k=1,2,…时,①式即为
即为 ……②
②式对k=1,2,…都成立,有
(ii)当n=2k,k=1,2,…时,①式即为
即为 ……③ ③式对k=1,2,…都成立,有
综上,①式对任意n∈N*,成立,有
故a0的取值范围为
解法二:如果 (n∈N*)成立,特别取n=1,2有
因此 下面证明当 时,对任意n∈N*,
由an的通项公式
(i)当n=2k-1,k=1,2…时,
(ii)当n=2k,k=1,2…时,
故a0的取值范围为
8.∵
∴ ∴
,∴
(Ⅱ)证明:由a=1知 ∵ ∴
∵当
∴
(Ⅲ)证明:由(Ⅰ)知,当a=1时,
因此
=
1.(2000天津)(15)设 是首项为1的正项数列,且 ( =1,2,3,…),则它的通项公式是 =_______.
2.(2003天津文)5.等差数列 (D )A.48 B.49 C.50 D.51
3.(2001天津)若Sn是数列{an}的前n项和,且 则 是 (B )
(A)等比数列,但不是等差数列 (B)等差数列,但不是等比数列
(C)等差数列,而且也是等比数列 (D)既非等比数列又非等差数列
4.(2000天津理)(21)(本小题满分12分)
(I)已知数列 ,其中 ,且数列 为等比数列,求常数 .
(II)设 、 是公比不相等的两个等比数列,,证明数列 不是等比数列.
5.(2000天津文)(19)(本小题满分12分)
设 为等差数列,为数列 的前 项和,已知 ,,为数列 的前 项和,求 .
6.(2002天津理)21、(本题满分12分)已知两点 ,且点 使 ,,
成公差小于零的等差数列.
(1)点P的轨迹是什么曲线?
(2)若点P坐标为 ,记 为 与 的夹角,求 .
7.(2002天津理)22、(本题满分14分)已知 是由非负整数组成的数列,满足 ,,.
(1)求 ;
(2)证明 ;
(3)求 的通项公式及其前 项和 .
8.(2003江苏理)(22)(本小题满分14分)
设 ,如图,已知直线 及曲线 上的点 的横坐标为 作直线平行于 轴,交直线 作直线平行于 轴,交曲线 的横坐标构成数列
(Ⅰ)试求 的关系,并求 的通项公式;
(Ⅱ)当 时,证明
(Ⅲ)当 时,证明
9.(2003天津理)(22)(本小题满分14分)
设 为常数,且 .
(Ⅰ)证明对任意 ≥1,;
(Ⅱ)假设对任意 ≥1有 ,求 的取值范围.
10.(2003天津文)19.(本题满分12分)
已知数列
(Ⅰ)求
(Ⅱ)证明
参考答案
1.; 2.c ; 3.B; 5.设等差数列 的公差为 ,则
∵ ,,∴ 即
解得 ,.∴ ,∵ ,∴ 数列 是等差数列,其首项为 ,公差为 ,∴ .
10.(Ⅰ)∵a1=1 .∴a2=3+1=4,a3=32+4=13 .
(Ⅱ)证明:由已知an-an-1=3n-1,故
所以证得 .
9.(1)证法一:(i)当n=1时,由已知a1=1-2a0,等式成立;
(ii)假设当n=k(k≥1)等式成立,则
那么
也就是说,当n=k+1时,等式也成立.根据(i)和(ii),可知等式对任何n∈N,成立.
证法二:如果设 用 代入,可解出 .
所以 是公比为-2,首项为 的等比数列.
即
(2)解法一:由 通项公式
等价于 ……①
(i)当n=2k-1,k=1,2,…时,①式即为
即为 ……②
②式对k=1,2,…都成立,有
(ii)当n=2k,k=1,2,…时,①式即为
即为 ……③ ③式对k=1,2,…都成立,有
综上,①式对任意n∈N*,成立,有
故a0的取值范围为
解法二:如果 (n∈N*)成立,特别取n=1,2有
因此 下面证明当 时,对任意n∈N*,
由an的通项公式
(i)当n=2k-1,k=1,2…时,
(ii)当n=2k,k=1,2…时,
故a0的取值范围为
8.∵
∴ ∴
,∴
(Ⅱ)证明:由a=1知 ∵ ∴
∵当
∴
(Ⅲ)证明:由(Ⅰ)知,当a=1时,
因此
=
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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