题目

地球质量为M，半径为R，自转角速度为ω，万有引力恒量为G，如果规定物体在离地球无穷远处势能为0，则质量为m的物体离地心距离为r时，具有的万有引力势能可表示为Ep＝−G

Mm

r

．国际空间站是迄今世界上最大的航天工程，它是在地球大气层上空绕地球飞行的一个巨大人造天体，可供宇航员在其上居住和科学实验．设空间站离地面高度为h，如果在该空间站上直接发射一颗质量为m的小卫星，使其能到达地球同步卫星轨道并能在轨道上正常运行，求该卫星在离开空间站时必须具有多大的初动能？

提问时间：2021-01-13

答案

由G

Mm

r2

＝

mv2

r

得，卫星在空间站上动能为Ek＝

1

2

mv2＝G

Mm

2(R+h)

卫星在空间站上的引力势能为EP＝−G

Mm

(R+h)

机械能为E1＝Ek+Ep＝−G

Mm

2(R+h)

同步卫星在轨道上正常运行时有G

Mm

r2

＝mω2r
故其轨道半径r＝

3	GM ω2

由上式可得同步卫星的机械能E2＝−G

Mm

2r

＝−

1

2

m

3	G2M2ω2

卫星运动过程中机械能守恒，故离开航天飞机的卫星的机械能应为E₂，
设离开航天飞机时卫星的初动能为E_k0
则E_k0=E2−Ep＝−

1

2

m

3	G2M2ω2

+G

Mm

R+h

．
答：该卫星在离开空间站时必须具有初动能为−

1

2

m

3	G2M2ω2

+G

Mm

R+h

．

根据万有引力提供向心力求出卫星在同步轨道上的动能，以及通过万有引力势能的表达式求出卫星在同步轨道上的引力势能，从而得出在同步轨道上同步卫星的机械能，根据机械能守恒定律求出卫星在空间站上的机械能，结合引力势能的大小求出卫星在离开空间站时必须具有的初动能．

本题考点：人造卫星的加速度、周期和轨道的关系；万有引力定律及其应用．

考点点评：解决本题的关键知道卫星在运行的过程中机械能守恒，以及掌握万有引力提供向心力这一理论，并能灵活运用．