题目

如图①,已知抛物线y=ax²+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B(-3,0),与y轴交于点C
（1）求抛物线的解析式
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M,问在对称轴上是否存在点P,是△CMP为等腰三角形?若存在请直接写出所有符合条件的点P的坐标,不存在请说明理由
（3）如图二,若点E为第二象限抛物线上一动点,链接BE、CE,求四边形BOCE面积的最大值,并求此时E点的坐标
自己画的图不好,大概就那样

提问时间：2021-01-13

答案

1）
将A(1,0),B(-3,0)代人y=ax²+bx+3,得,
a+b+3=0,
9a-3b+3=0,
解得a=-1,b=-2
抛物线为y=-x²-2x+3=-(x+1)²+4
所以对称轴为x=-1,M(-1,0)
由C(0,3)
在直角三角形OCM中,由勾股定理,得,CM=√10
以M为圆心,√10为半径画弧,交对称轴于点P,
此时有MP=MC,
有两个点符合要求,即（-1,√10）,(-1,-√10)
以C为圆心,√10为半径画弧,交对称轴于点P,
此时CP=CM,即P(-1,6)
作CM的垂直平分线交对称轴于点P,
此时PC=PM,
解得P(-1,5/3)
所以符合条件的点有3个
 
2）

 
设E(x,-x²-2x+3),其中x<0,-x²-2x+3>0,
连OE,
S△BOE=(1/2)*BO*(-x²-2x+3)=（3/2）(-x²-2x+3)
S△COE=(1/2)*CO*(-x)=(-3/2)x
所以四边形BOCE面积
=S△BOE+S△COE
=（3/2）(-x²-2x+3)+(-3/2)X
=（-3/2)x²-(9/2)x+9/2
当x=-3/2时,有最大面积,此时E(-3/2,15/4)