题目

已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数),x∈R,F(x)=f(x),(x>0)或-f(x),(x0)或-f(x),(x

提问时间：2021-01-13

答案

1）∵f（-1）=0,
∴a-b+1=0①（1分）
又函数f（x）的值域为[0,+∞）,所以a≠0
且由y＝a(x+
b
2a
)2+
4a−b2
4a
知
4a−b2
4a
＝0即4a-b2=0②
由①②得a=1,b=2（3分）
∴f（x）=x2+2x+1=（x+1）2．
∴F(x)＝
(x+1)2(x＞0)
−(x+1)2(x＜0)
（5分）
（2）由（1）有g（x）=f（x）-kx=x2+2x+1-kx=x2+（2-k）x+1=(x+
2−k
2
)2+1−
(2−k)2
4
,（7分）
当
k−2
2
≥2或
k−2
2
≤−2时,
即k≥6或k≤-2时,g（x）是具有单调性．（9分）
（3）∵f（x）是偶函数
∴f（x）=ax2+1,∴F(x)＝
ax2+1(x＞0)
−ax2−1(x＜0)
,（11分）
∵m＞0,n＜0,设m＞n,则n＜0．又m+n＞0,m＞-n＞0,
∴|m|＞|-n|（13分）
∴F（m）+F（n）=f（m）-f（n）=（am2+1）-an2-1=a（m2-n2）＞0,
∴F（m）+F（n）能大于零．（16分）