题目

设柱面的准线为X=2z,x=y*y+z*z母线垂直于准线所在的平面,求这柱面方程

提问时间：2021-01-12

答案

由于,柱面的准线为x=2z,x=y*y+z*z.(将原题中的X=2z改写为:x=2z)
而x=2z为一平面.故它就是准线所在平面.即所求柱面的母线垂直于此平面.
此平面(x=2z)的法向量为n= (1,0 ,-2),此即为所求柱面的准线的方向向量.
设:M(x,y,z)为准线上的任意一点,则过该点的母线方程为:
(X-x)/1 = (Y-y)/0 = (Z-z)/(-2) 其中P(X,Y,Z)为母线上点坐标.而(Y-y)/0 系指Y-y=0.
上式即:Z-z=-2X+2x,Y=y.
以下是要由上式和原准线方程x=2z,x=y*y+z*z 从中消去x,y,z 而得出关于(X,Y,Z)的方程,即所求柱面的方程.
Z-z=-2X+2x,(1)
Y=y.(2)
x=2z,(3)
x=y*y+z*z..即 2z= y^2+z^ (4)
由(3),(1)变为:5z = Z+2X,(5)
由(3) ,(4)变为:2z= y^2+z^2 (6)
将:(2),(5)代入(6)得:(2/5)(Z+2X) = Y^2 +(1/25)*(Z+2X)^2
整理得:10*(Z+2X) = 25*Y^2 +(Z+2X)^2.
即为所求.