题目

若已知lim（an）=a 则 lim(a1+a2+..+an)/n=a 请问反之是否成立?要如何证明?

提问时间：2021-01-12

答案

lim(n->∞) an =a ,求证： lim(n->∞) (a1+a2+..+an)/n=a
证明：
① 对任意 ε>0 ,
∵ lim(n->∞) an =a
对 ε/2 >0 ,存在 N1,当n>N1时, |an-a| max{ M , N1} 时:
|(a1+a2+..+an)/n - a|
≤ (|a1-a|+|a2-a|+...+|aN1-a|)/n +(|a(N1+1)-a|+...+|an-a|)/n
≤ ε/2 +(n-N1)*ε/2/n ≤ ε/2+ε/2 = ε

② 故存在 N = max{ [M] , N1} ∈Z+
③ 当 n>N 时,

④ 恒有： |(a1+a2+..+an)/n - a| < ε 成立.
∴ lim(n->∞) (a1+a2+..+an)/n=a
{本题最简洁的方法是直接套 O'Stoltz 定理即可}
反之不成立, 如反例 :
an = (-1)^n
lim(n->∞) (a1+a2+..+an)/n = 0 ,但:
an = (-1)^n 发散.