题目

如图，已知梯形ABCD，AB∥CD，∠B=90°，BC=6cm，CD=12cm，AB=20cm．动点P从A点出发，沿AD方向匀速向D运动，速度为1cm∕s；动点Q从B出发，沿BA方向匀速向A运动，速度为2cm∕s；当其中一个到达端点时，两点同时停止运动．若两点同时出发，运动时间为t（s）（t＞0），△CPQ的面积为y（cm²）．

（1）求点P到AB的距离；（用含t的代数式表示）
（2）t为何值时，△APQ是以AQ为底的等腰三角形；
（3）求y与t之间的函数关系式．

提问时间：2021-01-12

答案

（1）作DE⊥AB于点E，PF⊥AB于点F，
∵ABCD，AB∥CD，∠B=90°，
∴四边形DEBC为矩形，
∵BC=6cm，CD=12cm，AB=20cm，
∴DE=BC=6cm．AE=AB-EB=20-12=8cm，
∴AD=10cm，
∵动点P从A点出发，沿AD方向匀速向D运动，速度为1cm∕s；动点Q从B出发，沿BA方向匀速向A运动，速度为2cm∕s；
∴AP=tcm，
∵△APF∽△ADE，
∴

AP

AD

＝

PF

DE

，
即：

t

10

=

PF

6

∴PF=

3

5

t
∴点P到AB的距离为

3

5

t；
（2）当△APQ是以AQ为底的等腰三角形时，
AP=PQ，
此时，AF=FQ=

1

2

AQ=

1

2

（AB-BQ）=

1

2

（20-2t）=（10-t）cm，
在Rt△AFP中，AP²=AF²+PF²，
∴（10-t）²+（

3

5

t）²=t²，
解得：t=50（舍去）或t=

50

9

∴当t=

50

9

时，△APQ是以AQ为底的等腰三角形；
（3）在Rt△APF中，
∵AP=t，PF=

3

5

t
∴AF=

4

5

t，
∴y=S_梯形PFBC-S_△PFQ-S_△BCQ
=

1

2

（PF+BC）•FB-

1

2

PF•FQ-

1

2

BC•BQ
=

1

2

[（

3

5

t+6）（20-

4

5

t）-

3

5

t（10-t）-6×2t]
=

9

25

t²-

12

5

t+60．