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> 已知三个正整数2a,1,a2+3按某种顺序排列成等差数列. (Ⅰ)求a的值; (Ⅱ)若等差数列{an}的首项和公差都为a,等比数列{bn}的首项和公比都为a,数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn...
题目
已知三个正整数2a,1,a
2
+3按某种顺序排列成等差数列.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)若等差数列{a
n
}的首项和公差都为a,等比数列{b
n
}的首项和公比都为a,数列{a
n
}和{b
n
}的前n项和分别为S
n
,T
n
,且
T
提问时间:2021-01-12
答案
(Ⅰ)∵a>0,∴a
2
+3=a
2
+1+2≥2a+2>2a.…(2分)
①若三个数1,2a,a
2
+3依次成等差数列,
则有4a=a
2
+4解得a=2,符合题意;(4分)
②若三个数2a,1,a
2
+3依次成等差数列,
则有2=2a+a
2
+3解得a=-1,由a为正数不符合题意
∴a=2.…(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知a
n
=2+(n-1)×2=2n,
b
n
=
2
n
…(8分),
S
n
=n(n+1),
T
n
=
2
n+1
−2
…(10分)
∵
T
n
+2
2
n
>
S
n
−108
,
∴2>n(n+1)-108,即n(n+1)<110,…(11分)
故n的最大值为9.…(12分)
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