题目

已知数列{a_n}为公差不为零的等差数列，a₁=1，各项均为正数的等比数列{b_n}的第1项、第3项、第5项分别是a₁、a₃、a₂₁．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_nb_n}的前n项和S_n．

提问时间：2021-01-12

答案

（1）设数列{a_n}的公差为d，数列{b_n}的公比为q
由题意，得a32＝a1•a21，
即（a₁+2d）²=a₁（a₁+20d），解之得d=4（舍去0）
∴a_n=1+（n-1）×4=4n-3
而{b_n}的首项b₁=a₁=1，公比满足q²=

a3

a1

=

9

1

=9，得q=3
∴b_n=b₁×3^n-1=3^n-1
综上所述，数列{a_n}与{b_n}的通项公式分别为a_n=4n-3、b_n=3^n-1；
（2）由（1）得a_nb_n=（4n-3）×3^n-1
∴S_n=1×1+5×3¹+9×3²+…+（4n-7）×3^n-2+（4n-3）×3^n-1…①
两边都乘以9，得
3S_n=1×3¹+5×3²+9×3³+…+（4n-7）×3^n-1+（4n-3）×3ⁿ…②
①-②，得-2S_n=1+4（3¹+3²+…+3^n-1）-（4n-3）×3ⁿ
=4×

3(1−3n−1)

1−3

+1-（4n-3）×3ⁿ=（5-4n）×3ⁿ-5
∴数列{a_nb_n}的前n项和S_n=

1

2

[（4n-5）×3ⁿ+5]