题目

已知抛物线y=3ax^2+2bx+c 若a=b=1,且当-1小于X小于1时,抛物线与X轴有且只有一个公共点,求C的取值范围
若a+b+c=0且x1=0时,对应的y1>0,x2=1时,对应的y2>0,试判断当0提问时间：2021-01-12

答案

(1)
抛物线:y=3x²+2x+c
①当△=0时
即△=4-12c=0
c=⅓
交点:x=-⅓在(-1,1)范围内
故c=1/3
②当△＞0且左侧交点在(-1,1)范围内时
即c＜⅓且f(-1)＞0,f(1)＜0
f(-1)=3-2+c=1+c＞0,即c＞-1
f(1)=3+2+c=5+c＜0,即c＜-5
∴c无解
③当△＞0且右侧交点在(-1,1)范围内时
即c＜⅓且f(-1)＜0,f(1)＞0
f(-1)=3-2+c=1+c＜0,即c＜-1
f(1)=3+2+c=5+c＞0,即c＞-5
∴-5＜x＜-1
④当c=-5时,3x²+2x-5=0的根为-5/3,1,∴c=-5不符合要求
⑤当c=-1时,3x²+2x-1=0的根为-1,1/3,∴c=-1符合要求
综上c=⅓或-5＜x≤-1
(2)
当x1=0时,y1=c>0
f(1)=3a+2b+c>0
3a+2b+c=a+b+c+2a+b=2a+b＞0
∴a>-(a+b)=c>0,即抛物线开口向上
b=-(a+c)0
∴抛物线与x轴必有交点
同时f(0)＞0,f(1)＜0
∴当0＜x＜-b/3a时,抛物线单调下降,抛物线与x轴必有公共点.
∴当0＜x＜1时,抛物线与x轴必有公共点.