题目

用初等变换的方法求逆矩阵,行1(-2 1 1 1)
原矩阵为：-2 1 1 1
1 -2 1 1
1 1 -2 1
1 1 1 -2
求它的逆矩阵是多少

提问时间：2021-01-12

答案

用初等行变化求矩阵的逆矩阵的时候,
即用行变换把矩阵(A,E)化成(E,B)的形式,那么B就等于A的逆
在这里
(A,E)=
-2 1 1 1 1 0 0 0
1 -2 1 1 0 1 0 0
1 1 -2 1 0 0 1 0
1 1 1 -2 0 0 0 1 r1 +r2*2,r3-r2,r4-r2
～
0 -3 3 3 1 2 0 0
1 -2 1 1 0 1 0 0
0 3 -3 0 0 -1 1 0
0 3 0 -3 0 -1 0 1 r1+r3,r4-r3 ,交换r1和r2
～
1 -2 1 1 0 1 0 0
0 0 0 3 1 1 1 0
0 3 -3 0 0 -1 1 0
0 0 3 -3 0 0 -1 1 r4+r2,r2除以3,r1-r2,交换r2和r3
～
1 -2 1 0 -1/3 2/3 -1/3 0
0 3 -3 0 0 -1 1 0
0 0 0 1 1/3 1/3 1/3 0
0 0 3 0 1 1 0 1 r2+r4,r2除以3,r4除以3
～
1 -2 1 0 -1/3 2/3 -1/3 0
0 1 0 0 1/3 0 1/3 1/3
0 0 0 1 1/3 1/3 1/3 0
0 0 1 0 1/3 1/3 0 1/3 r1-r4,r1+r2*2,交换r3和r4
～
1 0 0 0 0 1/3 1/3 1/3
0 1 0 0 1/3 0 1/3 1/3
0 0 1 0 1/3 1/3 0 1/3
0 0 0 1 1/3 1/3 1/3 0
这样就已经通过初等行变换把(A,E)～(E,A^-1),
于是得到了原矩阵的逆矩阵就是
0 1/3 1/3 1/3
1/3 0 1/3 1/3
1/3 1/3 0 1/3
1/3 1/3 1/3 0