题目

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)与双曲线

x2

3

-y2=1共焦点，点A(3，

7

)在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点Q（0，2），P为椭圆C上的动点，点M满足：

QM

=

MP

，求动点M的轨迹方程．

提问时间：2021-01-11

答案

（1）由已知得双曲线焦点坐标为F₁（-2，0），F₂（2，0），
由椭圆的定义得|AF₁|+|AF₂|=2a，∴

25+7

+

1+7

=2a，∴a=3

2

而c²=4，∴b²=a²-c²=18-4=14
∴所求椭圆方程为

x2

18

+

y2

14

=1
（2）设M（x，y），P（x₀，y₀），由

QM

=

MP

得（x，y-2）=（x₀-x，y₀-y）
∴

x0=2x y0=2y-2

而P（x₀，y₀）在椭圆

x2

18

+

y2

14

=1上
即

(2x)2

18

+

(2y-2)2

14

=1
即

2x2

9

+

2(y-1)2

7

=1为所求M的轨迹方程．

（1）根据椭圆与双曲线公焦点，可知椭圆的焦点坐标，利用点A(3，

7

)在椭圆C上，根据椭圆的定义，我们可以求出a的值，根据焦点坐标，利用b²=a²-c²，可以求出b²，从而可求椭圆C的方程；
（2）利用点M满足：

QM

＝

MP

，可得动点M与动点P之间的坐标关系，利用点P满足椭圆方程，我们可以求出动点M的轨迹方程．

本题考点：椭圆的标准方程；轨迹方程．

考点点评：本题的考点是椭圆的标准方程，考查待定系数法求椭圆的标准方程，考查代入法求轨迹方程，解题的关键是利用向量关系，寻求动点之间的坐标关系．