题目

定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x＞0时,f(x)＞1,且对任意的a,b∈R,有f(a+b)=f(a)f(b)
（1）求证：f(0)=1
(2)求证:对任意的x∈R,恒有f(x)＞0
(3)求证f(x)是R上的增函数
（4）若f(x)f(2x-x^2)>1,求x的取值范围

提问时间：2021-01-11

答案

(1) 设b=0 则f(a)=f(a)f(0) f(0)=1
(2) 设a=x>0 b=-x1>0 所以f(-x)>0
故对任意的x∈R,恒有f(x)＞0
(3) 设x1>x2 x1=x2+m m=x1-x2>0 则f(m)>1
所以f(x1)=f(x2+m)=f(x2)*f(m)>f(x2)
故f(x)是R上的增函数
(4) f(2x-x^2)>1
因f(x)是增函数,f(0)=1
所以2x-x^2>0 x(x-2)