题目

（数学）已知a,b,c为实数,函数y1=ax^2+bx+c,y2=ax+b(a>0),当-1≤x≤1时有-1≤y1≤1
已知a,b,c为实数,函数y1=ax^2+bx+c,y2=ax+b(a>0),当-1≤x≤1时有-1≤y1≤1,y2有最大值2,试求由抛物线y1与直线y2所围成的封闭图形及其内部所有格点（纵横坐标均为整数的点）顺次连接所得图形的面积.

提问时间：2021-01-11

答案

由a>0知,y2随x增大而增大.
∴a+b＝2.
当x＝0、1时,-1≤c≤1,-1≤a+b+c≤1,
故-1≤c＝(a+b+c)-2≤1-2＝-1,
∴c＝-1.
∴x＝0时,y1＝-1是函数y1在x∈[-1,1]上的最小值.
故x＝0是函数y1的对称轴,
即-b/2a＝0,b＝0,a＝2.
即y1＝2x^2-1,y2＝2x.
联立得两者交点坐标为
A((1-√3)/2,1-√3)、B((1+√3)/2,1+√3).
由于(1-√3)/2≤x≤(1+√3)/2的整数解为x＝0,1.
∴对应的格点有
O(0,0)、M(0,-1)、N(1,1)、P(1,2)四个点.
∴四边形OMNP恰好是一个平行四边形,
其面积为：S＝1×1＝1.