题目
设f(n)=1+1/2+1/3+.+1/n 求证f(1)+f(2)+.+(n-1)=n·[f(n)-1]用数学归纳法
用数学归纳法证明 设f(n)=1+1/2+1/3+.+1/n 求证f(1)+f(2)+.+(n-1)=n·[f(n)-1]
用数学归纳法证明 设f(n)=1+1/2+1/3+.+1/n 求证f(1)+f(2)+.+(n-1)=n·[f(n)-1]
提问时间:2021-01-11
答案
本题你在(n-1)前少打了一个f.
当n=1时,f(1)=1,0=f(1)-1成立;
设当n=k时此式成立,即f(1)+f(2)+...+f(k-1)=k[f(k)-1]
当n=k+1时,f(1)+f(2)+...+f(k-1)+f(k)=k[f(k)-1]+f(k)=(k+1)f(k)-k
而(k+1)[f(k+1)-1]=(k+1)[f(k)+1/(k+1)-1]=(k+1)f(k)+1-k-1=(k+1)f(k)-k
即f(1)+f(2)+...+f(k)=(k+1)[f(k+1)-1]成立.
综上所述,f(1)+f(2)+...+f(n-1)=n[f(n)-1]成立.
当n=1时,f(1)=1,0=f(1)-1成立;
设当n=k时此式成立,即f(1)+f(2)+...+f(k-1)=k[f(k)-1]
当n=k+1时,f(1)+f(2)+...+f(k-1)+f(k)=k[f(k)-1]+f(k)=(k+1)f(k)-k
而(k+1)[f(k+1)-1]=(k+1)[f(k)+1/(k+1)-1]=(k+1)f(k)+1-k-1=(k+1)f(k)-k
即f(1)+f(2)+...+f(k)=(k+1)[f(k+1)-1]成立.
综上所述,f(1)+f(2)+...+f(n-1)=n[f(n)-1]成立.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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